Question

（本題13分）已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一粒種子，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立．假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的，如果種子沒(méi)有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的．若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對(duì)值；

（1）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望；

（2）記“關(guān)于的不等式的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意知的可能取值為，，，，，，由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．

（2）由題意知：“不等式的解集是實(shí)數(shù)”為事件．當(dāng)時(shí)，不等式化為，其解集為，說(shuō)明事件發(fā)生；當(dāng)時(shí)，不等式化為，，所以解集是，說(shuō)明事件發(fā)生；當(dāng)時(shí)，不等式化為，其解集為，說(shuō)明事件不發(fā)生．由此能求出事件發(fā)生的概率．

試題解析：（1）由題意知的可能取值為0，2，4，

∵“”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次，失敗2次．

∴．

“”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次，失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次，失敗3次．

∴．

“”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次，失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次，失敗4次．

∴，

∴．即隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．

（2）由題意知：“不等式的解集是實(shí)數(shù)R”為事件A．

當(dāng)時(shí)，不等式化為，其解集為，說(shuō)明事件發(fā)生；

當(dāng)時(shí)，不等式化為，，所以解集是，說(shuō)明事件發(fā)生；

當(dāng)時(shí)，不等式化為，其解集為，說(shuō)明事件不發(fā)生．

∴．

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率．