Question

7．在正六棱錐P-ABCDEF中，AB=1，若平面PAB⊥平面PDE，則PA=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，該正六棱錐的體積是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 取AB的中點M，DE的中點N，連接MN，PM，PN，則MN=$\sqrt{3}$，利用面PAB⊥平面PDE，可得PM⊥PN，求出PM，可得PA，求出正六棱錐的高，可得正六棱錐的體積．

解答 解：取AB的中點M，DE的中點N，連接MN，PM，PN，則MN=$\sqrt{3}$
∵正六棱錐P-ABCDEF中，平面PAB⊥平面PDE，
∴PM⊥PN，
∴PM²+PN²=MN²，
∴PM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴PA=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
正六棱錐的高=$\sqrt{\frac{7}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴正六棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×6×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查正六棱錐的體積，考查學(xué)生的計算能力，正確求出PA是關(guān)鍵．