Question

13．已知3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow$+5$\overrightarrow{c}$=0，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，則$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=（　�。�

• A． 0
• B． -$\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出向量3$\overrightarrow{a}$，4$\overrightarrow$，5$\overrightarrow{c}$構(gòu)成一個封閉的三角形ABC，由勾股定理可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，展開$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），利用數(shù)量積公式求得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$分別是向量3$\overrightarrow{a}$，4$\overrightarrow$，5$\overrightarrow{c}$的單位向量，
由3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow$+5$\overrightarrow{c}$=0，
∴向量3$\overrightarrow{a}$，4$\overrightarrow$，5$\overrightarrow{c}$構(gòu)成一個封閉的三角形ABC，
向量$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BA}$=5$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow$，
根據(jù)勾股定理，△ABC是直角三角形，
且∠ACB=90°，cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=-$\frac{3}{5}$，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞
=1×1×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{3}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，合理地構(gòu)造三角形，用勾股定理解題是關(guān)鍵，屬中檔題．