Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+

3

bsinC-a-c=0．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=

3

，求2a+c的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出sin（B-

π

6

）的值，根據(jù)B為三角形內(nèi)角，確定出B的度數(shù)即可；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理求出2R的值，2a+c利用正弦定理化簡，把2R的值代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出范圍即可．

解答： 解：（1）由正弦定理知：sinBcosC+

3

sinBsinC-sinA-sinC=0，
把sinA=sin（B+C）=sinAcosC+cosAsinC代入上式得：

3

sinBsinC-cosBsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴

3

sinB-cosB-1=0，即sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∵B為三角形內(nèi)角，
∴B=

π

3

；
（2）由（1）得：2R=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴2a+c=2R（2sinA+sinC）=4sinA+2sin（

2π

3

-A）=5sinA+

3

cosA=2

7

sin（A+θ），
其中sinθ=

3

2 7

，cosθ=

5

2 7

，
∵A∈（0，

2π

3

），
∴2

7

∈（

3

，2

7

]，
則2a+c的范圍為（

3

，2

7

]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．