Question

14．設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)x，y滿足f（x-y）=f（x）+f（y）+xy-1恒成立．
（1）求f（0），f（1）；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若方程f[（f（2x）]=k恰有兩個實數(shù)根在（-2，2）內(nèi)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0得f（0），令x=y=1得f（1）；
（2）令y=x，可得f（x）的解析式；
（3）構(gòu)造函數(shù)令g（x）=-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值，（分別畫出y=f[（f（2x）]，與y=k的圖象，利與學(xué)生理解），即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1．
令x=y=1，得f（0）=f（1）+f（1）+1-1，
即1=2f（1），即f（1）=$\frac{1}{2}$．
（2）令y=x，得f（0）=f（x）+f（x）+x²-1，
即1=2f（x）+x²-1，
則2f（x）=-x²+2，
則f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+1．
（3）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+1．
∴f（2x）=-2x²+1，
∴f[（f（2x）]=$-\frac{1}{2}$（-2x²+1）²+1=-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$，
令g（x）=-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=-8x³+4x，
令g′（x）=0，解得x=0，或x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（x）在（-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）上單調(diào)遞減，
∴x=0時g（x）_極小值=g（0）=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，g（x）_極大值=g（±$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1，g（±2）=-$\frac{47}{2}$，
當(dāng)k=1時，-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵方程f[（f（2x）]=k恰有兩個實數(shù)根在（-2，2）內(nèi)，
∴-$\frac{47}{2}$＜k≤$\frac{1}{2}$，
終上所述：k的取值范圍為（-$\frac{47}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪{1}．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和最值之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．