Question

關(guān)于曲線C：x⁴-y³=1，給出下列四個結(jié)論：
①曲線C是雙曲線；            
②關(guān)于y軸對稱；
③關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱；      
④與x軸所圍成封閉圖形面積小于2．
則其中正確結(jié)論的序號是

 

．（注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：

分析：根據(jù)題意，依次分析4個命題：對于①：將曲線C的方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可得①錯誤；對于②：分析關(guān)于y軸對稱的兩個點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（-x，y），是否都在曲線上，即可得②正確；對于③：分析關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（-x，-y），是否都在曲線上，即可得③錯誤，對于④：將曲線方程變形為y=

3	x4-1

，分析其與x軸所圍成的面積，即可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，依次分析4個命題：
對于①：曲線C：x⁴-y³=1，不符合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，故不是雙曲線；①錯誤；
對于②：若點(diǎn)（x，y）在曲線上，則有x⁴-y³=1，那么對于與點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)（-x，y），也有（-x）⁴-y³=1成立，則點(diǎn)（-x，y）也在曲線上，故曲線關(guān)于y軸對稱，②正確；
對于③：若點(diǎn)（x，y）在曲線上，則有x⁴-y³=1，那么對于與點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)（-x，-y），（-x）⁴-（-y）³=1不成立，則點(diǎn)（-x，-y）不在曲線上，故曲線不關(guān)于原點(diǎn)對稱，③錯誤；
對于④：曲線C：x⁴-y³=1，變形可得y=

3	x4-1

，分析可得曲線與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0）、B（1，0），與y軸的交點(diǎn)為E（0，-1），且其圖象在矩形ABCD內(nèi)，故曲線與x軸所圍成封閉圖形面積小于S_矩形ABCD，而S矩形_ABCD，=2，故④正確；
故答案為②④．

點(diǎn)評：本題考查曲線與方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)曲線的方程，分析曲線的幾何形狀與具有的幾何性質(zhì)．