已知直線l：y=kx-2與拋物線 C：x2=-2py（p＞0）交于A、B兩點，O為坐標原點 
OA
+
OB
=（-4，-12）．
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）拋物線上一動點P從A到B運動時，求點P到直線l的最大值，并求此時點P的坐標．
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由
y=kx-2
x2=-2py
得，x2+2pkx-4p=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系、再利用向量坐標運算即可得出；
（2）設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切于點P（x0，y0），由x2=-2y可得y′=-x，利用-x0=2，可得P（-2，-2）．再利用點到直線的距離公式即可得出點P到直線AB的最大距離．
解答： 解：（1）由
y=kx-2
x2=-2py
得，x2+2pkx-4p=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
則x1+x2=-2pk，y1+y2=k（x1+x2）-4=-2pk2-4，
∴
OA
+
OB
=（x1+x2，y1+y2）=（-2pk，-2pk2-4）=（-4，-12）．
∴
-2pk=-4
-2pk2-4=-12
，
解得
p=1
k=2
．
∴直線l的方程為y=2x-2，拋物線C的方程為x2=-2y．
（2）設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切于點P（x0，y0），
由x2=-2y可得y′=-x，
∴-x0=2，
解得x0=-2，∴（-2）2=-2×y0．解得y0=-2，
∴P（-2，-2）．
點P到直線AB的最大距離d=
|-2×(-2)+2-2|
5
=
4
5
5
．
點評：本題考查了直線與拋物線相交于相切的位置公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標運算、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，設(shè)a1為首項，其前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＞S3．
（Ⅰ）設(shè){an}為等差數(shù)列，且公差為d，求a1和d的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè){an}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1和q 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點為F，直線x+y-1=0和x+y+1=0與橢圓分別交于A、B和C、D四點，則|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=（　�。�
A、4
3
B、2
3
C、8
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關(guān)于曲線C：x4-y3=1，給出下列四個結(jié)論：
①曲線C是雙曲線；            
②關(guān)于y軸對稱；
③關(guān)于坐標原點中心對稱；      
④與x軸所圍成封閉圖形面積小于2．
則其中正確結(jié)論的序號是
 
．（注：把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A（e，1），B（1，0）是曲線y=lnx圖象上的兩點，點A在y軸上的射影為C，O為坐標原點，則曲線梯形OBAC的面積為（　�。�
A、eB、1C、e-1D、e-2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果直線y-1=k（x-2）與圓x2+y2=1在第四象限內(nèi)的部分有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），求證：alog3a+blog3b+clog3c≥-1；
（2）已知a1+a2+…+a 3n=1，ai＞0（i=1，2，3，…，3n），求證：a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a 3nlog3a 3n≥-n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-a|，g（x）=x3+1，若函數(shù)y=f（g（x））的圖象為軸對稱圖形，則實數(shù)a的值可能是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為
π
3
，若
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角為銳角，求實數(shù)λ的取值范圍．

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