Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為24，邊OA比OC大5．E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）求OA、OC的長(zhǎng)；
（2）求證：DF為⊙O′的切線(xiàn)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：（1）根據(jù)矩形的面積公式可求得其長(zhǎng)和寬即OA、OC的長(zhǎng)；
（2）要證明DF為⊙O′的切線(xiàn)只要證明DF⊥O′D即可．

解答： 解：（1）在矩形OABC中，設(shè)OC=x，則OA=x+5，依題意得
x（x+5）=24
解得x₁=3，x₂=-8（不合題意，舍去）
∴OC=3，OA=5．
（2）證明：連接O′D，
在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=2.5
∴△OCE≌△ABE
∴EA=EO
∴∠EOA=∠EAO
在⊙O′中
∵O′O=O′D
∴∠O′OD=∠O′DO
∴∠O′DO=∠EAO
∴O′D∥AE
∵DF⊥AE
∴DF⊥O′D
又∵點(diǎn)D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑
∴DF為⊙O′切線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)矩形的性質(zhì)，解一元二次方程及切線(xiàn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．