Question

13．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為a，則異面直線AC₁與BD的距離為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$a
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$a
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$a
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$a

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC₁與BD的距離．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為a
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（a，0，0），C₁（0，a，a），B（a，a，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-a，a，a），$\overrightarrow{BD}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{DA}$=（a，0，0），
設(shè)$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{BD}$的公共法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=-ax+ay+az=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=-ax-ay=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴異面直線AC₁與BD的距離為d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．