Question

2．證明函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$（x∈R）關(guān)于（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)稱．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y）為f（x）圖象上任意一點(diǎn)，則P關(guān)于（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）的對(duì)稱點(diǎn)Q（1-x，1-y），直線證明Q點(diǎn)在f（x）圖象上即可．

解答 證明：設(shè)P（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，則P關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的對(duì)稱點(diǎn)為Q（1-x，1-y）．
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$=$\frac{{2}^{x}（{2}^{1-x}+\sqrt{2}）+{2}^{1-x}（{2}^{x}+\sqrt{2}）}{（{2}^{x}+\sqrt{2}）（{2}^{1-x}+\sqrt{2}）}$=$\frac{2+\sqrt{2}•{2}^{x}+2+\sqrt{2}•{2}^{1-x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}+\sqrt{2}•{2}^{1-x}+2}$=1．
∴f（1-x）=1-f（x）=1-y．
∴點(diǎn)Q（1-x，1-y）在函數(shù)f（x）的圖象上．
∴函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$（x∈R）關(guān)于（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．