Question

10．已知拋物線x²=8y的焦點F到雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，點P是拋物線x²=8y上一動點，P到雙曲線C的右焦點F₂的距離與到直線y=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{4}$-y²=1．

Answer 1

分析 確定拋物線的焦點坐標，雙曲線的漸近線方程，進而可得a=2b，再利用拋物線的定義，結合P到雙曲線C的右焦點F₂（c，0）的距離與到直線y=-2的距離之和的最小值為3，可得FF₂=3，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結論．

解答 解：拋物線x²=8y的焦點F（0，2），
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）一條漸近線的方程為bx-ay=0，
由拋物線x²=8y的焦點F到雙曲線C的漸近線的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
可得d=$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即有2b=a，
由P到雙曲線C的右焦點F₂（c，0）的距離與到直線y=-2的距離之和的最小值為3，
由拋物線的定義可得P到準線的距離即為P到焦點F的距離，
可得|PF₂|+|PF|的最小值為3，
連接FF₂，可得|FF₂|=3，
即c²+4=9，
解得c=$\sqrt{5}$，
由c²=a²+b²，a=2b，
解得a=2，b=1，
則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}$-y²=1．
故答案為：$\frac{x^2}{4}$-y²=1．

點評 本題主要考查了拋物線、雙曲線的幾何性質，考查拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．