Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)g（x）=a（x-1）²+1+b-a，a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故

g(2)=1 g(3)=4

，
由此解得a、b的值．
（2）不等式可化為 2^x+

1

2x

-2≥k•2^x，故有 k≤t²-2t+1，t∈[

1

2

，2]，求出h（t）=t²-2t+1的最大值，
從而求得k的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)g（x）=ax²-2ax+b+1=a（x-1）²+1+b-a，
因為a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故

g(2)=1 g(3)=4

，解得

a=1 b=0

． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+

1

x

-2，所以，不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為 2^x+

1

2x

-2≥k•2^x，
可化為 1+(

1

2x

)2-2•

1

2x

≥k，令t=

1

2x

，則 k≤t²-2t+1．
因 x∈[-1，1]，故 t∈[

1

2

，2]．故k≤t²-2t+1在t∈[

1

2

，2]上能成立．
記h（t）=t²-2t+1，因為 t∈[

1

2

，2]，故 h（t）_max =h（2）=1，
所以k的取值范圍是（-∞，1]． …（14分）

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的零點與方程根的關系，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．