Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{8}$，若$\frac{{a}_{n+6}-{a}_{n}}{91}$≥3ⁿ≥a_n+2-a_n，則a₂₀₁₇=$\frac{1}{8}$•3²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 利用疊加法，結(jié)合條件得出a_n+6-a_n=91•3ⁿ，a_n+2-a_n=3ⁿ，進(jìn)一步可得數(shù)列{a_n-$\frac{1}{8}$•3ⁿ}的奇數(shù)項(xiàng)是各項(xiàng)均為0的常數(shù)數(shù)列，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵3ⁿ≥a_n+2-a_n，①
3ⁿ⁺²≥a_n+4-a_n+2，②
3ⁿ⁺⁴≥a_n+6-a_n+4，③
①+②+③：a_n+6-a_n≤3ⁿ+3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺⁴=（1+3²+3⁴）•3ⁿ=91•3ⁿ，
又$\frac{{a}_{n+6}-{a}_{n}}{91}$≥3ⁿ，因此只有a_n+6-a_n=91•3ⁿ，
∴a_n+2-a_n=3ⁿ，
∴a_n+2-$\frac{1}{8}$•3ⁿ⁺²=a_n-$\frac{1}{8}$•3ⁿ，
∵a₁=$\frac{3}{8}$，
∴a₁-$\frac{1}{8}$•3=0
∴數(shù)列{a_n-$\frac{1}{8}$•3ⁿ}的奇數(shù)項(xiàng)是各項(xiàng)均為0的常數(shù)數(shù)列．
n為奇數(shù)時，a_n=$\frac{1}{8}$•3ⁿ，∴a₂₀₁₇=$\frac{1}{8}$•3²⁰¹⁷．
故答案為：$\frac{1}{8}$•3²⁰¹⁷．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查疊加法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．