Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₄=5，S₉=54．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式與S_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{S_n}-2n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）知${b_n}=\frac{2}{{{n^2}+3n-2n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）依題意知S₉=9a₅=54，解得a₅=6，）
∴公差d=a₅-a₄=6-5=1，a₁=a₄-（4-1）d=2．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴${S_n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×1=\frac{{{n^2}+3n}}{2}$．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{2}{{{n^2}+3n-2n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．