Question

11．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n²=4S_n-2a_n-1（n∈N^*），其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)n=1，n=2求解數(shù)列的a₁，a₂的值．
（2）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過(guò)a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)推出數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁²=4S₁-2a₁-1，
即（a₁-1）²=0，解得a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，a₂²=4S₂-2a₂-1=4a₁+2a₂-1=3+2a₂，
解得a₂=3或a₂=-1（舍去）．
（2）a_n²═4S_n-2a_n-1，①
a_n+1²=4S_n+1-2a_n+1-1．②
②-①得：a_n+1²-a_n²=4a_n+1-2a_n+1+2a_n=2（a_n+1+a_n），
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n）．
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴a_n=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．