Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），又以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C極坐標(biāo)方程為：ρ²-4ρsinθ=4，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求直線l的普通方程及曲線C的平面直角坐標(biāo)方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)） 消去t，得：直線l的普通方程，又將ρ²=x²+y²，ρsinθ=y代入ρ²-4ρsinθ=4可得曲線C的平面直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的方程代入x²+（y-2）²=8得：t²-2t-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)） 消去t，得：直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y+2\sqrt{3}+2=0$，
又將ρ²=x²+y²，ρsinθ=y代入ρ²-4ρsinθ=4得
曲線C的平面直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=8．
（2）將直線l的方程代入x²+（y-2）²=8得：t²-2t-4=0，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則 t₁+t₂=2，t₁•t₂=-4，
∴$|{AB}|=\left|{\;}\right.{t_1}-{t_2}\left.{\;}\right|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．