Question

20．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過F₂作直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求△PQF₁的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓方程，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²=1，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（2）由當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：x=ky+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知y₁+y₂，y₁•y₂，根據(jù)三角形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}$丨F₁+F₂丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨+丨F₁Q丨+丨PQ丨）•r，求得r的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的關(guān)系，即可求得△PQF₁的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
解得：a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，1），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)PQ斜率不存在時(shí)，可得：r=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
當(dāng)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：x=ky+$\sqrt{2}$，
將直線方程代入橢圓方程，整理得：（k²+3）y²+2$\sqrt{2}$ky-0=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{2}k}{{k}^{2}+3}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+3}$，
△PQF₁面積S=$\frac{1}{2}$丨F₁+F₂丨•丨y₁-y₂丨=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+3}$，
由S=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨+丨F₁Q丨+丨PQ丨）•r=2a•r=2$\sqrt{3}$r，
∴$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+3}$=2$\sqrt{3}$r，
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+3}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{k}^{2}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$時(shí)，即k=±1時(shí)，等號成立，
∴內(nèi)切圓半徑的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積公式及基本不等式的關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．