Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是π，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度后所得的函數(shù)圖象過點(diǎn)P（0，1），則函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（　　）

• A． 在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞減
• B． 在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增
• C． 在區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減
• D． 在區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的單調(diào)性．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度后所得的函數(shù)為y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ），
根據(jù)所得圖象過點(diǎn)P（0，1），可得 sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=1，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
則函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
令k=0，可得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，故B滿足條件．
同理求得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．