Question

3．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=AA₁=1，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)
（1）求證：B₁C∥平面A₁DE；
（2）求異面直線B₁C與A₁E所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁D∥B₁C，能證明B₁C∥平面A₁DE．
（2）由A₁D∥B₁C，知∠DA₁E是異面直線B₁C與A₁E所成角，由此能求出異面直線B₁C與A₁E所成角的大�。�

解答 證明：（1）∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∥B₁C
A₁D?平面A₁DE，B₁C?平面A₁DE，
∴B₁C∥平面A₁DE．
解：（2）∵A₁D∥B₁C，∴∠DA₁E是異面直線B₁C與A₁E所成角，
∵AB=2，AD=AA₁=1，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，
∴A₁D=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，A₁E=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴△A₁DE是等邊三角形，
∴∠DA₁E=60°，
∴異面直線B₁C與A₁E所成角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．