【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.

(1) 證明:PB∥平面AEC

(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積

【答案】

【解析】試題分析:()連接BDACO點,連接EO,只要證明EO∥PB,即可證明PB∥平面AEC;()延長AEM連結(jié)DM,使得AM⊥DM,說明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱錐E-ACD的體積

試題解析:(1)證明:連接BDAC于點O,連接EO.

因為ABCD為矩形,所以OBD的中點.

EPD的中點,所以EO∥PB.

因為EO平面AEC,PB平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

(2)因為PA⊥平面ABCDABCD為矩形,

所以ABAD,AP兩兩垂直.

如圖,以A為坐標(biāo)原點, AD,AP的方向為xyz軸的正方向,||為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系Axyz,則D,E.

設(shè)B(m0,0)(m>0),則C(m, ,0), (m, ,0)

設(shè)n1(x,yz)為平面ACE的法向量,

可取n1.

n2(10,0)為平面DAE的法向量,

由題設(shè)易知|cosn1,n2|,即

,解得m.

因為EPD的中點,所以三棱錐EACD的高為.三棱錐EACD的體積V××××.

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