Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一系列對應(yīng)值如表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）對于區(qū)間[a，b]，規(guī)定|b-a|為區(qū)間長度，根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)y=f（kx）-f（kx+$\frac{π}{2}$）（k＞0）在任意區(qū)間長度為$\frac{1}{10}$的區(qū)間上都能同時取到最大值和最小值，求正整數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）由表格可得A+B=3，-A+B=-1，求得A和B的值，再根據(jù)周期性求得ω=1，根據(jù)五點法作圖求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）先求出函數(shù)y=f（kx）-f（kx+$\frac{π}{2}$）的解析式，再根據(jù)它的周期小于或等于$\frac{1}{10}$，求得正整數(shù)k的最小值．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），
由表格可得A+B=3，-A+B=-1，
求得A=2，B=1．
再根據(jù)$\frac{2π}{ω}$=$\frac{17π}{6}-\frac{5π}{6}$，求得ω=1．
再根據(jù)五點法作圖可得1×$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）函數(shù)y=f（kx）-f（kx+$\frac{π}{2}$）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）-2sin[kx+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$]=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）-2cos（kx-$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{2}$sin（kx-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin（kx-$\frac{7π}{12}$）（k＞0）
在任意區(qū)間長度為$\frac{1}{10}$的區(qū)間上都能同時取到最大值和最小值，
∴$\frac{2π}{k}$≤$\frac{1}{10}$，即 k≥20π，
故正整數(shù)k的最小值為63．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A和B，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．