4．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

分析 運(yùn)用余弦定理可得|PF1|=2$\sqrt{3}$c，再由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a，即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，
即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1
=4c2+4c2-2•4c2•（-$\frac{1}{2}$）
=12c2，即有|PF1|=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a，即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
即有c=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用余弦定理和雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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