Question

12．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（-\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$，且雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)M的坐標(biāo)（x₀，4），則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程，由題意可得p=$\frac{8}{3}$，$\frac{a}$=2，求得M（3，4）代入雙曲線的方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得$\frac{p}{2}$=$\frac{4}{3}$，即p=$\frac{8}{3}$，
$\frac{a}$=2，即b=2a①
又M的坐標(biāo)（x₀，4），可得16=2px₀=$\frac{16}{3}$x₀，
解得x₀=3，
將M（3，4）代入雙曲線的方程可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{16}{^{2}}$=1②
由①②解得a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．