Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）與直線y=x-2交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，求出切線的方程，再令y=0，得到方程，解得即可；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出f（x）的圖象，以及直線y=kx-2，注意k=1的相切的情況，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+2的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=3x²-6x+a，
則曲線y=f（x）在（0，2）處的切線斜率為a，
即有曲線y=f（x）在（0，2）處的切線方程為：y=ax+2，
令y=0，則x=-$\frac{2}{a}$，由-2=-$\frac{2}{a}$，即有a=1；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-6x+1，當(dāng)1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)，
f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x＞1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x＜1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
f′（x）＞0，f（x）遞增，如右圖，f（x）的圖象，
作出直線y=kx-2的圖象，恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2），
令f′（x）=1，則x=0或2，切點(diǎn)為（0，2），（2，0）．
即k=1時(shí)，直線y=x-2與曲線y=f（x）相切，與曲線y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．