Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{2^n}$（n=1，2，3，…），則S_2n-1=$\frac{4}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]$．

Answer 1

分析 通過分組可知S_2n-1表示的是以1為首項、$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列的前n項和，計算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，S_2n-1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-2}}$=1+$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$，
故答案為：$\frac{4}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．