Question

20．為選拔參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”的選手，某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)競賽”活動．為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值并求出抽取學(xué)生的平均分；
（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值并求出抽取學(xué)生的平均分．
（2）由頻率分布直方圖得分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有3人，記為A，B，C，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記為a，b，由此利用列舉法能求出所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

解答 解：（1）由題意知：
樣本容量n=$\frac{4}{0.016×10}$=25，y=$\frac{2}{24×10}=0.008$，
x=0.100-0.008-0.012-0.016-0.040=0.024．
由頻率分布直方圖得抽取的部分學(xué)生的平均分為：
55×0.16+65×0.24+75×0.4+85×0.12+95×0.08=72.2分．
（2）由頻率分布直方圖得分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有：25×0.012×10=3人，記為A，B，C，
分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記為a，b，
在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”，
基本事件總數(shù)有10個，分別為：
AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，
所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)包含的基本事件有7個，分別為：
Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，
∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率p=$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、概率、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．