Question

8．有一塊半徑為R（R是正常數(shù)）的半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃征地建一個(gè)矩形的游泳池ABCD和其附屬設(shè)施，附屬設(shè)施占地形狀是等腰△CDE，其中O是圓心，A、B在圓的直徑上，C，D，E在半圓周上，如圖，設(shè)∠BOC=θ，征地面積為f（θ），當(dāng)θ滿足g（θ）=f（θ）+R²sinθ取得最大值時(shí)，開發(fā)效果最佳，開發(fā)效果最佳的角θ和g（θ）的最大值分別為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$，R²（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$）
• B． $\frac{π}{4}$，R²（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$）
• C． $\frac{π}{4}$，R²（1+$\sqrt{2}$）
• D． $\frac{π}{6}$，R²（1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 連結(jié)OE，用θ表示出BC，OB，代入梯形面積公式即可得出f（θ），則g（θ）=R²（1+sinθ）cosθ+R²sinθ=R²（sinθ+cosθ+sinθcosθ），令sinθ+cosθ=t，利用換元法求出g（θ）的最值及對應(yīng)的θ．

解答 解：連結(jié)OE，在Rt△OBC中，BC=Rsinθ，OB=Rcosθ，
∴S_梯形OBCE=$\frac{1}{2}$（Rsinθ+R）Rcosθ=$\frac{1}{2}$R²（1+sinθ）cosθ，
∴f（θ）=2S_梯形OBCE=R²（1+sinθ）cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
則g（θ）=R²（1+sinθ）cosθ+R²sinθ=R²（sinθ+cosθ
+sinθcosθ），
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），則t∈（1，$\sqrt{2}$]，
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴g（θ）=R²（$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，
令h（t）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，則h（t）在（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，h（t）取得最大值（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$）R² ．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，考查函數(shù)最值的計(jì)算及其幾何意義，屬于中檔題．