Question

11．已知直線y=kx+1與曲線 f（x）=x³+ax+b相切于點A（1，3）．
（1）求a，b的值；
（2）求g（x）=2f（x）-（3x²+10x+6）在區(qū)間[-2，1]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義、把切點坐標代入曲線和切線方程，列出方程組進行求解，即可得出結(jié)論；
（2）求出g（x）的表達式，求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值以及端點值，從而求出g（x）的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得，y′=3x²+a，∴k=3+a  ①
∵切點為A（1，3），
∴3=k+1  ②
3=1+a+b  ③
由①②③解得，a=-1，b=3；
（2）由（1）得：f（x）=x³-x+3，
則g（x）=2x³-3x²-12x，g′（x）=6（x+1）（x-2），
令g′（x）=0，解得：x=-1或x=2，
∴g（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，1]遞減，
在區(qū)間[-2，1]上，g（-2）=-4，g（-1）=7，g（1）=-13，
故g（x）在區(qū)間[-2，1]上的取值范圍是[-13，7]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切點在曲線上和切線上的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．