Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD=60°，Q為AD中點，AD=4，PD=6．
（Ⅰ）若點M在線段PC上，且PM=tPC（t＞0），試確定實數(shù)t的值，使得PA∥平面MQB；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐M-BQD的體積為2

3

時，試求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連AC交BQ于N，交BD于O，說明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，根據(jù)三角形相似，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）由S_△BDQ=

1

2

×BQ×DQ=2

3

，設(shè)M到平面BDQ的距離為h，由VM-BQD=

1

3

×h×S△BDQ=

2 3

3

h=2

3

，得h=3，從而M是PC的中點，取BC中點E，以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)t=

1

3

時，使得PA∥平面MQB，
連AC交BQ于N，交BD于O，連接MN，則O為BD的中點，
又∵BQ為△ABD邊AD上中線，∴N為正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的邊長為a，則AN=

3

3

a，AC=

3

a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

，
即：PM=

1

3

PC，t=

1

3

．
（Ⅱ）∵底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD=60°，
Q為AD中點，AD=4，PD=6，
∴S_△BDQ=

1

2

×BQ×DQ=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∵三棱錐M-BQD的體積為2

3

，設(shè)M到平面BDQ的距離為h，
∴VM-BQD=

1

3

×h×S△BDQ=

2 3

3

h=2

3

，
解得h=3，∴M是PC的中點，
取BC中點E，以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
Q（2，0，0），M（-1，

3

，3），B（2，

3

，0），

QM

=（-3，

3

，3），

QB

=（0，

3

，0），
設(shè)平面BQM的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • QM =-3x+ 3 y+3z=0 n • QB = 3 y=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，1），
平面BQC的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角M-BQ-C的平面角為θ，
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2

=

2

2

，∴θ=45°．
∴二面角M-BQ-C的大小為45°．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，空間向量、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．