Question

一個口袋中裝有大小相同的n個紅球（n∈N^*且n≥2）和5個白球，一次摸獎從中摸出兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．記一次摸獎中獎的概率為p．
（Ⅰ）求p（用n表示）；
（Ⅱ）若p=

1

3

，將5個白球全部取出后，對剩下的n個紅球全部作如下標記：記上i號的有i個（i=1，2，3，4），其余的紅球記上0號，現(xiàn)從袋中任取兩球，用X表示所取兩球的最大標號，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有

C

2 n+5

種方法，其中兩個球的顏色不同的取法有

C

1 n

C

1 5

種，由此能求出一次摸獎中獎的概率．
（Ⅱ）由p=

1

3

，得n=20，從而X可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有

C

2 n+5

種方法．
其中兩個球的顏色不同的取法有

C

1 n

C

1 5

種，…（2分）
所以一次摸獎中獎的概率為p=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

．…（4分）
（Ⅱ）若p=

1

3

，即

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20或n=1（舍去）．
由題知：記上0號的紅球有10個．
X可能取值為0，1，2，3，4．…（6分）
P(X=0)=

C 2 10

C 2 20

=

45

190

，
P(X=1)=

C 1 10 C 1 1

C 2 20

=

10

190

，
P(X=2)=

C 1 2 C 1 11 + C 2 2

C 2 20

=

23

190

，
P(X=3)=

C 1 3 C 1 13 + C 2 3

C 2 20

=

42

190

，
P(X=4)=

C 1 4 C 1 16 + C 2 4

C 2 20

=

70

190

．
從而X的分布列是：

X	0	1	2	3	4
p	45 190	10 190	23 190	42 190	70 190

EX=0×

45

190

+1×

10

190

+2×

23

190

+3×

42

190

+4×

70

190

=

462

190

=

231

95

． …（12分）

點評：本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．