Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）與y=-sinx的圖象關(guān)于直線

π

6

對(duì)稱．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）單位后，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求m的最小值；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=h（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱性直接求解其解析式．
（2）平移后由函數(shù)為偶函數(shù)得到m-

π

3

=kπ+

π

2

，由此可求最小正數(shù)m的值．
（3）由圖象變化法則可得g（x）=sin（2x-

π

3

），問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)g（x）的圖象與y=-m只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）與y=-sinx的圖象關(guān)于直線

π

6

對(duì)稱．
∴Asin[ω（

π

3

-x）+φ]=-sinx，
∴-Asin（ωx-

πω

3

-φ）=-sinx，
∴可解得：A=1，ω=1，φ=-

π

3

，
∴y=f（x）=sin（x-

π

3

），
（2）∴將函數(shù)y=sin（x-

π

3

）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin（x+m-

π

3

）．
∵所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴y=sin（x+m-

π

3

）為偶函數(shù)．
即m-

π

3

=kπ+

π

2

，m=kπ+

5π

6

．
當(dāng)k=0時(shí)，m的最小值為

5π

6

．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
∴g（x）=sin（2x-

π

3

），可得g（x）在[0，

5π

12

]單調(diào)遞增，在[

5π

12

，

π

2

]單調(diào)遞減，
其圖象如圖所示，

關(guān)于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于函數(shù)g（x）的圖象與y=-m只有一個(gè)公共點(diǎn)，
由圖象可得-m=1，或-

3

2

≤-m＜

3

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m=-1或-

3

2

＜m≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用對(duì)稱思想求解函數(shù)的解析式．