Question

7．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，經過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點M（-1，0）作直線交橢圓于A，B兩點，O是坐標原點，求△OAB的面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，利用離心率公式及待定系數法即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式和三角形的面積公式，利用換元法即可求得△OAB的面積的最大值及直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a²=$\frac{4}{3}$c²，則a²=$\frac{1}{4}$b²，
將點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=4，
∴所求的橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設直線l方程l：x=hy-1
聯(lián)立，$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\ x=hy-1\end{array}\right.$
得：（4+h²）y²-2hy-3=0
因為△=16（h²+3）＞0
所以${y_1}+{y_2}=\frac{2h}{{4+{h^2}}}$…（8分）
所以$S=\frac{1}{2}•|{OM}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{△}}}{{4+{h^2}}}=\frac{{2\sqrt{{h^2}+3}}}{{{h^2}+4}}$
令$\sqrt{{h^2}+3}=t≥\sqrt{3}$
則$S=\frac{2t}{{{t^2}+1}}=\frac{2}{{t+\frac{1}{t}}}$在$[\sqrt{3}，+∞）$上單調遞減，
當$t=\sqrt{3}$即h=0時，${S_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$此時l：x=-1，

點評 本題考查橢圓標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及弦長公式，函數的單調性的應用，屬于中檔題．