Question

16．設變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-2≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}\right.$，若z=a²x+y（a＞0）的最大值為4，則a=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，平移關于目標函數(shù)的直線，結合圖象求出a的值．

解答 解：畫出不等式組表示的可行域如圖中影部分所示，
由z=a²x+y得y=-a²x+z，
目標函數(shù)z的最大值，是直線y=-a²x+z在y軸上的最大截距．
由圖形可知，
當直線y=-a²x+z過點A時，在y軸上的截距取得最大值．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}}\right.$，解得$A（\frac{7}{4}，\frac{15}{4}）$，
則$\frac{7}{4}{a^2}+\frac{15}{4}=4$，注意到a＞0，
求得$a=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，是一道中檔題．