Question

【題目】如圖，四邊形是梯形.四邊形是矩形.且平面平面，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）試確定點(diǎn)的位置，使平面，并說明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，連結(jié),交于點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)中位線可知，即平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量，求.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，

證明如下：

連接，交于，連接，

由于、分別是、的中點(diǎn)，所以，

由于平面，又不包含于平面，

∴平面.

（Ⅱ）方法一：過點(diǎn)作平面與平面的交線，

∵平面，∴，

過點(diǎn)作于，

∵平面平面，，

∴平面，∴平面平面，

∴平面，

過作于，連接，則直線平面，∴，

設(shè)，則，，，則，

∴，

∴所求二面角的余弦值為.

方法二：

∵平面平面，，

∴平面，可知、、兩兩垂直，

分別以、、的方向?yàn)?/span>，，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，

設(shè)平面的法向量，

則，∴，

令，得平面的一個(gè)法向量，

取平面的法向量，

由，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.