Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{cx+1（0＜x＜c）}\\{{2^{-\frac{x}{c^2}}}+1（c≤x＜1）}\end{array}}\right.$滿足f（c²）=$\frac{9}{8}$．則f（x）的值域?yàn)椋?，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x）的定義域便可看出0＜c＜1，從而可判斷0＜c²＜c，從而可求出$f（{c}^{2}）={c}^{3}+1=\frac{9}{8}$，這樣便可求出c=$\frac{1}{2}$，然后根據(jù)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性定義即可求出每段上f（x）的范圍，然后求并集便可得出f（x）的值域．

解答 解：根據(jù)f（x）解析式看出0＜c＜1；
∴0＜c²＜c；
∴$f（{c}^{2}）=c•{c}^{2}+1=\frac{9}{8}$；
∴$c=\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1}&{0＜x＜\frac{1}{2}}\\{{2}^{-4x}+1}&{\frac{1}{2}≤x＜1}\end{array}\right.$；
①0$＜x＜\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{2}x+1$為增函數(shù)；
∴$f（0）＜f（x）＜f（\frac{1}{2}）$；
即$1＜f（x）＜\frac{5}{4}$；
②$\frac{1}{2}≤x＜1$時，f（x）=2^-4x+1為減函數(shù)；
∴$f（1）＜f（x）≤f（\frac{1}{2}）$；
即$\frac{17}{16}＜f（x）≤\frac{5}{4}$；
∴綜上得f（x）的值域?yàn)?（1，\frac{5}{4}]$．
故答案為：$（1，\frac{5}{4}]$．

點(diǎn)評 考查分段函數(shù)的概念，知道0＜c＜1時，c²＜c，以及一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的定義，函數(shù)值域的概念，分段函數(shù)值域的求法．