Question

10．已知圓C：（x-a）²+y²=1（a＞0），過直線l：2x+2y+3=0上任意一點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，若∠APB為銳角，則a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出直線l和圓C，PA，PB為圓的兩條切線，連接AC，BC，PC，由∠APB為銳角，可得0＜∠APC＜$\frac{π}{4}$，運用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA²=PC²-1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：作出直線l和圓C，PA，PB為圓的兩條切線，
連接AC，BC，PC，
由圓心C（a，0）到直線l的距離為d=$\frac{|2a+3|}{2\sqrt{2}}$＞$\frac{3}{2\sqrt{2}}$＞1，
可得直線和圓相離．
由∠APB為銳角，可得0＜∠APC＜$\frac{π}{4}$，
即0＜tan∠APC＜1，
在Rt△APC中，tan∠APC=$\frac{AC}{PA}$=$\frac{1}{PA}$，
可得1＜PA恒成立，
由勾股定理可得PA²=PC²-1，
當PC⊥l時，PC取得最小值，且為$\frac{|2a+3|}{2\sqrt{2}}$，
即有1＜$\sqrt{\frac{（2a+3）^{2}}{8}-1}$，
解得a＞$\frac{1}{2}$．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，主要是相切，注意運用切線的性質和點到直線的距離公式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．