Question

20．給出函數(shù)y=lg（ax²+3x+4）
（1）若其值域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若其定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）本題中函數(shù)y=lg（ax²+3x+4）的值域為R故內(nèi)層函數(shù)ax²+3x+4的值域要取遍全體正實數(shù)，當(dāng)a=0時符合條件，當(dāng)a＞0時，可由△≥0保障 y=lg（ax²+3x+4）的內(nèi)層函數(shù)ax²+3x+4的值域能取遍全體正實數(shù)，故解題思路明了．
（2）函數(shù)y=lg（ax²+3x+4）的定義域為R，從而ax²+3x+4＞0的解集為R，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=lg（ax²+3x+4）的值域為R，
∴t=ax²+3x+4的值域要取遍全體正實數(shù)，
當(dāng)a=0時符合條件，故a=0可��；
當(dāng)a＞0時，△=9-16a≥0，解得a≤$\frac{9}{16}$，故0＜a≤$\frac{9}{16}$，
綜上知 實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{9}{16}$]，
（2）∵函數(shù)y=lg（ax²+3x+4）的定義域為R，
∴ax²+3x+4＞0的解集為R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=9-16a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{9}{16}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{9}{16}$，+∞）．

點評 本題考點是對數(shù)函數(shù)的值域與最值，考查對數(shù)函數(shù)的定義其定義域為全體實數(shù)的等價條件的理解，本題是一個易錯題，應(yīng)依據(jù)定義厘清轉(zhuǎn)化的依據(jù)