Question

11．已知△ABC的面積為9$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{AC}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}}）$=18，向量$\overrightarrow m$=（tanA+tanB，sin2C）和$\overrightarrow n$=（1，cosAcosB）是共線向量．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡即可，
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式以及三角形的面積公式，余弦定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）因為向量向量$\overrightarrow m$=（tanA+tanB，sin2C）和$\overrightarrow n$=（1，cosAcosB）是共線向量，
所以cosAcosB（tanA+tanB）-sin2C=0，…（2分）
即sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosC=0，
化簡得sinC-2sinCcosC=0，即sinC（1-2cosC）=0．…（4分）
因為0＜C＜π，所以sinC＞0，
從而cosC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$  …（6分）
（2）∵$\overrightarrow{AC}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}}）$=18，
∴18=$\overrightarrow{AC}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}}）$=$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|²，
則|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，于是AC=3$\sqrt{2}$．…（8分）
因為△ABC的面積為9$\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{2}$CA•CBsinC=9$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}×$3$\sqrt{2}$CBsin$\frac{π}{3}$=9$\sqrt{3}$，解得CB=6$\sqrt{2}$               …（10分）
在△ABC中，由余弦定理得AB²=CA²+CB²-2CA•CBcosC=（3$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$  ）²-2×3$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=54，
所以AB=$\sqrt{54}$=3$\sqrt{6}$． …（12分）

點評 本題主要考查向量關(guān)系，向量數(shù)量積以及余弦定理的應(yīng)用，綜合考查三角函數(shù)和向量的關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力．