分析 根據(jù)題意令x=n-1,y=1(n≥2)代入式子得,f(n)=(n-1)f(1)+f(n-1)+2(n-1),化簡得f(n)-f(n-1)=3(n-1),利用累加法求出f(n).
解答 解:由題意得,f(1)=1,
令x=n-1,y=1(n≥2)代入f(x+y)=xf(y)+yf(x)+2xy,
f(n)=(n-1)f(1)+f(n-1)+2(n-1),
則f(n)-f(n-1)=3(n-1),
所以f(2)-f(1)=3×1,
f(3)-f(2)=3×2,
f(4)-f(3)=3×3,
…
f(n)-f(n-1)=3(n-1),
以上(n-1)個(gè)式子相加得:
f(n)-f(1)=3[1+2+3+…+(n-1)]=3×$\frac{(n-1)n}{2}$,
化簡得,f(n)=$\frac{1}{2}$(3n2-3n+2),
故答案為:$\frac{3{n}^{2}-3n+2}{2}$.
點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用,主要根根據(jù)條件和結(jié)論,給變量適當(dāng)?shù)闹荡胧阶踊啠促x值法,還考查了累加法的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{6}{5}$ | B. | $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ | C. | $\frac{4\sqrt{2}}{5}$ | D. | $\frac{4\sqrt{3}}{5}$ |
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A. | 0個(gè) | B. | 1個(gè) | C. | 2個(gè) | D. | 3個(gè) |
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A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,3) | D. | (3,4) |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 2 | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | -2 |
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A. | A∪B=R | B. | A∪(∁RB)=R | C. | A∩(∁RB)=R | D. | (∁RA)∪B=R |
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