Question

18．設定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），當x＞0時f′（x）＞1，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，且f（x）-f（-x）=2sinx，則不等式2f（x-$\frac{π}{3}$）≤sinx-$\sqrt{3}$cosx的解集為[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x），求出g（x）的奇偶性和單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為g（x-$\frac{π}{3}$）≤g（$\frac{π}{6}$），結合函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-sinx，
則g（-x）=f（-x）-sin（-x）=f（-x）+sinx，
∵f（x）-f（-x）=2sinx，
∴g（-x）=g（x），g（x）是偶函數(shù)，
∵當x＞0時f′（x）＞1，
∴g′（x）=f′（x）-cosx＞1-cosx＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，
∵2f（x-$\frac{π}{3}$）≤sinx-$\sqrt{3}$cosx，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∴g（x-$\frac{π}{3}$）≤g（$\frac{π}{6}$），
∴|x-$\frac{π}{3}$|≤$\frac{π}{6}$，解得：$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
故不等式的解集是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案為：[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導數(shù)的應用，構造函數(shù)g（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．