Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x²-ax-a）e^x，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=x²+（2-a）x-2a，通過(guò)討論a的范圍，求出g（x）的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：f′（x）=[x²+（2-a）x-2a]e^x，
令g（x）=x²+（2-a）x-2a，
△=（2-a）²+8a=（a+2）²≥0，
a=-2時(shí)，g（x）=x²+4x+4≥0，
即f′（x）≥0，f（x）在R遞增，
a≠-2時(shí)，對(duì)于g（x），
△＞0，g（x）有2個(gè)不相等的實(shí)根，
令g（x）=0，解得：x=-2或x=a，
a＞-2時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞a或x＜-2，令g（x）＜0，解得：-2＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
a＜-2時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞-2或x＜a，令g（x）＜0，解得：a＜x＜-2，
∴f（x）在（-∞，a）遞增，在（a，-2）遞減，在（-2，+∞）遞增，
綜上，a=-2時(shí)，f（x）在R遞增，
a＞-2時(shí)，f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
a＜-2時(shí)，f（x）在（-∞，a）遞增，在（a，-2）遞減，在（-2，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．