Question

17．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，AB⊥BC，PA=6，AB=BC=8，DF=5．
（1）求證：直線PA∥平面DEF；
（2）求證：平面BDE⊥平面ABC；
（3）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由D、E為PC、AC的中點，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；
（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可；
（3）證明BE⊥平面PAC．連接PE，則∠BPE即為所求．

解答 （1）證明：由于D，E分別是PC，AC的中點，則有PA∥DE，
又PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以PA∥平面DEF …（4分）
（2）證明：由（1）知PA∥DE，又PA⊥AC，所以DE⊥AC，
又F是AB的中點，$所以DE=\frac{1}{2}PA=3，EF=\frac{1}{2}BC=4，又DF=5，所以D{E^2}+E{F^2}=D{F^2}$，
所以DE⊥EF，
又EF∩AC=E，所以DE⊥平面ABC，
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．（8分）
（3）解：由（2）知DE⊥平面ABC，又DE?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，所以BE⊥平面PAC．
連接PE，則∠BPE即為所求．
$BE=4\sqrt{2}，PB=10$，故$sin∠BPE=\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查了空間中的平行與垂直問題，考查線面角，解題時應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，是中檔題．