Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}]$上的最小值，并求取得最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為Asin（ωx+φ）+b的形式，求出最小正周期；
（2）由x∈$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}]$求出2x-$\frac{π}{4}$的取值范圍，再計算f（x）的取值范圍以及取最小值時x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sinxcosx-cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，…（4分）
由$T=\frac{2π}{2}$得，最小正周期T=π；…（6分）
（2）∵$\frac{π}{8}≤x≤\frac{3π}{4}$，∴$0≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，…（7分）
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{4}}）≤1$，…（9分）
∴$-1≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）-\frac{1}{2}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{1}{2}$…（10分）
當$2x-\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即$x=\frac{3π}{4}$時，
f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{5π}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）-$\frac{1}{2}$=-1，取得最小值-1．…（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與形如f（x）=Asin（ωx+φ）+b的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．