Question

13．設函數(shù)f（x）=x²-x-$\frac{4x}{x-1}$（x＜0），g（x）=x²+bx-2（x＞0），b∈R，若f（x）圖象上存在兩個不同點A，B與g（x）圖象上兩點A′，B′關于y軸對稱，則b的取值范圍是（4$\sqrt{2}$-5，1）．

Answer 1

分析 根據題意條件等價為f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有兩個不同的解，利用參數(shù)分離法，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調性和極值，利用數(shù)形結合進行求解即可得到結論．

解答 解：∵（x）圖象上存在兩個不同點A，B與g（x）圖象上兩點A′，B′關于y軸對稱，
∴f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有兩解，即x-$\frac{4x}{x+1}$=bx-2有兩解，整理得b=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$=1-$\frac{2x-2}{{x}^{2}+x}$．
設h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$，則h′（x）=$\frac{（2x-1）（{x}^{2}+x）-（{x}^{2}-x+2）（2x+1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$=$\frac{2（{x}^{2}-2x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$．
令h′（x）=0，得x²-2x-1=0，解得x=1+$\sqrt{2}$或x=1-$\sqrt{2}$（舍）．
當0＜x＜1+$\sqrt{2}$時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）遞減，
當x＞1+$\sqrt{2}$時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增，
則當x=1+$\sqrt{2}$時，h（x）取得極小值h（1+$\sqrt{2}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+2}{3+2\sqrt{2}+1+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+4}{3\sqrt{2}+4}$=4$\sqrt{2}$-5，
當x→+∞時，h（x）→1，
∵b=h（x）有兩解，∴b＜1．
∴b的取值范圍是（4$\sqrt{2}$-5，1）．
故答案為（4$\sqrt{2}$-5，1）．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，考查函數(shù)圖象的對稱變換，函數(shù)交點個數(shù)及位置的判定，根據條件轉化為f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有兩個不同的解是解決本題的關鍵．，綜合性強，難度較大．