Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（1，0），左頂點到點F的距離為$\sqrt{2}$+1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F，斜率為k的直線l與橢圓E交于A，B兩點，且與短軸交于點C，若△OAF與△OBC的面積相等，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=1，a+c=1+$\sqrt{2}$，解得a，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F，斜率為k的直線l的方程為y=k（x-1），C（0，-k），聯(lián)立橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理，由三角形的面積公式可得|AF|=|BC|，即有線段AB的中點和線段CF的中點重合，運用中點坐標公式，解方程可得斜率k，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）喲題意可得c=1，a+c=1+$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)過點F，斜率為k的直線l的方程為y=k（x-1），C（0，-k），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8+8k²＞0成立，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由△OAF與△OBC的面積相等，可得|AF|=|BC|，
即有線段AB的中點和線段CF的中點重合，
AB的中點的橫坐標為$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
CF的中點的橫坐標為$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則所求直線的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），即為x±$\sqrt{2}$y-1=0．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用兩點的距離公式和基本量的關(guān)系，考查直線的方程的求法，注意運用聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．