Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$}的前n項(xiàng)和，求證：1≤S_n＜4．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1+1=2（a_n+1），運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求出$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
可得a_n+1+1=2（a_n+1），
即有數(shù)列{a_n+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
則a_n+1=2ⁿ，即為a_n=2ⁿ-1；
（2）證明：$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n項(xiàng)和S_n=1•1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和S_n=4-（2n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
由$\frac{（2n+6）•（\frac{1}{2}）^{n+1}}{（2n+4）•（\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{n+3}{2n+4}$＜1，
可得（2n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ為遞減數(shù)列，
則S_n為遞增，則S_n≥S₁=1，且S_n＜4．
即有1≤S_n＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．