Question

18．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），點(diǎn)A在雙曲線C上，且點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A的一點(diǎn)，若PA，PB的連線的斜率分別為k₁，k₂（均不為0），若$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法，可得斜率之間為定值，再利用$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，可設(shè)點(diǎn)M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．
∴$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{q}^{2}}{^{2}}$=1，且$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1．
兩式相減由斜率公式得：k₁k₂=$\frac{{t}^{2}-{q}^{2}}{{s}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
∵$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$≥$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1+2$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．
故答案為：$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評 本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法，求得斜率之積為定值．