Question

如圖，M、N是焦點(diǎn)為F的拋物線y²=2px（p＞0）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段MN中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4-

p

2

，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直線MN與x軸交于點(diǎn)B點(diǎn)，求點(diǎn)B橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義，求|MF|+|NF|的值；
（2）分類討論，利用差法，即可求點(diǎn)B橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=8-p，|MF|=x₁+

p

2

，|NF|=x₂+

p

2

，
∴|MF|+|NF|=x₁+x₂+p=8；
（2）p=2時(shí)，y²=4x，
若直線MN斜率不存在，則B（3，0）；
若直線MN斜率存在，設(shè)A（3，t）（t≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
代入利用點(diǎn)差法，可得y₁²-y₂²=4（x₁-x₂）
∴k_MN=

2

t

，
∴直線MN的方程為y-t=

2

t

（x-3），
∴B的橫坐標(biāo)為x=3-

t2

2

，
直線MN代入y²=4x，可得y²-2ty+2t²-12=0
△＞0可得0＜t²＜12，
∴x=3-

t2

2

∈（-3，3），
∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)的取值范圍是（-3，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．