Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)，是否存在公共切線y=kx+b（常數(shù)k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函數(shù)h（x），g（x）各自定義域上恒成立？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x-e 令f'（x）=e^x-e=0 得x=1
當(dāng)x＞1 時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＜1 時(shí)，f'（x）＜0．
所以函數(shù)f（x） 在（-∞，1）上遞增所以f（x） 的最小值為f（1）=0 （3分）
（Ⅱ） 證明：由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，
所以f（x）≥f（1），即e^x≥ex 當(dāng)x＞0 時(shí)由e^x≥ex 得x≥1+lnx，x-1≥lnx，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)等號(hào)成立．
令 得 …
將上式相加得 …8分
（Ⅲ） 設(shè) 則
所以當(dāng) 時(shí)F'（x）＜0，
當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0
所以當(dāng) 時(shí)F（x） 取得最小值0．
則h（x） 與g（x） 的圖象在 處有公共點(diǎn) 由 在x∈R 恒成立，
則 在x∈R 恒成立
所以
因此
下面證明 成立設(shè)

所以當(dāng)0＜x0，
當(dāng) 時(shí)，G'（x）＜0
因此，，
故所求公共切線為 （14分）
分析：（Ⅰ） 要求函數(shù)的最小值，需要求出導(dǎo)函數(shù)并令其等于零得到x=1，然后分區(qū)間x＜1和x＞1，討論函數(shù)的增減性來判斷函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最小值即可．
（Ⅱ）由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，從而由e^x≥ex，當(dāng)x＞0 時(shí)x-1≥lnx，進(jìn)而可知，令 得，故可得證；
（Ⅲ）設(shè)，原問題轉(zhuǎn)化為研究此函數(shù)的單調(diào)性問題，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，研究函數(shù)的最值問題．考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)．