Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx的圖象與直線3x+3y-8=0相切于點(diǎn)（2，f（2））．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）區(qū)間[-2，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）通過對f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx的圖象與直線3x+3y-8=0相切于點(diǎn)（2，f（2）），聯(lián)立方程組計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，進(jìn)而可知函數(shù)g（x）=f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）的圖象是開口向上、對稱軸為x=2的拋物線，利用f（x）在區(qū)間[-2，1）上單調(diào)遞增，在（1，2]上單調(diào)遞減，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx，
∴f′（x）=x²-2ax+b，
又∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx的圖象與直線3x+3y-8=0相切于點(diǎn)（2，f（2）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）={2}^{2}-4a+b=-1}\\{f（2）=\frac{8}{3}-4a+2b=\frac{8-3×2}{3}}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-b=5}\\{2a-b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∵函數(shù)g（x）=f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）的圖象是開口向上、對稱軸為x=2的拋物線，
∴當(dāng)x∈（-∞，1）∪（3，+∞）時(shí)g（x）＞0，當(dāng)x∈（1，3）時(shí)g（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間[-2，1）上單調(diào)遞增，在（1，2]上單調(diào)遞減，
又∵f（-2）=$\frac{1}{3}$×（-8）-2×4+3×（-2）=-$\frac{50}{3}$，f（1）=$\frac{1}{3}$-2+3=$\frac{4}{3}$，f（2）=$\frac{1}{3}$×8-2×4+3×2=$\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)f（x）區(qū)間[-2，2]的最大值為$\frac{4}{3}$，最小值為-$\frac{50}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．